Hydraulika przepływów niestacjonarnych

(Unsteady Flow Hydraulics)

W obliczeniach hydraulicznych przepływu niestacjonarnego modelowanie przepływu ciśnieniowego w przewodach wymaga zastosowania teorii szczeliny Preissmanna (ang. slot theory). Wewnątrz danego przewodu może odbywać się równocześnie przepływ ze swobodną powierzchnią i przepływ ciśnieniowy. Przepływ ciśnieniowy jest zwykle analizowany przy użyciu równań uderzenia hydraulicznego (ang. waterhammer), które zostaną przedstawione poniżej dla przekroju kołowego (Streeter i Wylie, 1979).

Pęd:

$$v\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial h}{\partial x}+g\sin \theta + \frac{fv|v|}{2D} = 0\,,\qquad\textrm{(14-11)}$$

ciągłość:

$$\frac{1}{\rho} \left( v\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial t} \right) a^2 \frac{\partial v}{\partial x} = 0\,,\qquad\textrm{(14-12)}$$

gdzie $v$ - prędkość,
$h$ - wysokość ciśnienia,
$\rho$ - gęstość płynu,
$g$ - przyspieszenie ziemskie,
$\theta$ - spadek dna,
$f$ - współczynnik oporu Darcy-Weisbacha,
$D$ - średnica przewodu,
$t$ - czas,
$x$ - odległość.

Te hiperboliczne różniczkowe równania cząstkowe opisują rozchodzenie się fal ciśnienia w ośrodku sprężystym. Impulsy przemieszczają się po charakterystykach:

$$\frac{\partial x}{\partial t} = v \pm a\,.\qquad\textrm{(14-13)}$$

Ze względu na to, że prędkość fazowa fal $a$ jest o trzy rzędy większa od prędkości przepływu $v$, człony adwekcyjne w równaniach (4-11)  i (4-12) są często pomijane i wówczas charakterystyki opisane są równaniem (Streeter i Wylie, 1979):

$$\frac{\partial x}{\partial t} = \pm a\,.\qquad\textrm{(14-14)}$$

W przypadku przepływu ciśnieniowego prędkość fazowa fali dźwiękowej z korekcją wynikającą ze sprężystości materiału z jakiego wykonane są ścianki przewodu wynosi:

$$ a = \left[ \frac{\gamma}{g} \left( \frac{1}{K}+\frac{D\,c_1}{E\,e} \right) \right]^{-0.5} \,,\qquad\textrm{(14-15)}$$

gdzie $\gamma$ - ciężar właściwy wody,
$K$ - moduł sprężystości wody,
$D$ - średnica przewodu,
$e$ - grubość ścianki przewodu,
$c_1$ - współczynnik podparcia przewodu, zwykle 0.91,
$E$ - moduł Young'a.

W przypadku, gdy przewód jest zakopany lub wydrążony w skale, $e$ przyjmuje duże wartości, a korekcja wynikająca ze sprężystości jest nieznaczna, co pozwala zapisać:

$$ a = \left( g \frac{K}{\gamma} \right)^{0.5} \,.\qquad\textrm{(14-16)}$$

Jeśli moduł ściśliwości $K = 2.2 GPa$, wówczas prędkość fazowa $a = 1483 m/s$.

 

Równania dla płytkiego przepływu (ang. shallow water) mogą zostać zapisane tak, że zmiennymi zależnymi są prędkość $v$ oraz głębokość $h$.

Pęd:

$$\frac{\partial v}{\partial t}+v \frac{\partial v}{\partial x}+ g \frac{\partial h}{\partial x} g(S_f-S_0) = 0\,\qquad\textrm{(14-17)}$$

ciągłość:

$$T_w\frac{\partial h}{\partial t} + v T_w\frac{\partial h}{\partial x}+ A\frac{\partial h}{\partial x} = 0\,,\qquad\textrm{(14-12)}$$

gdzie $A$ - pole powierzchni przekroju,
$T_w$ - szerokość przekroju w zwierciadle.

Tak samo jak równania uderzenia hydraulicznego powyższe równania również są hiperbolicznymi cząstkowymi równaniami różniczkowymi, zgodnie z którymi impulsy rozchodzą się po charakterystykach:

$$\frac{\partial x}{\partial t} = v \pm c\,.\qquad\textrm{(14-19)}$$

W powyższym równaniu $c$ jest prędkością fazową fali grawitacynej:

$$c = \sqrt{gD}\,,\qquad\textrm{(14-20)}$$

gdzie $D$ - głębokość hydrauliczna, $A/T_w$.

Równania (4-16) i (4-20) mają tę samą postać i różnią się jedynie wartościami prędkości fazowych fal. Korzystając z tego faktu Preissmann (Cunge i in., 1980) zaproponował, aby prędkości fazowe fal ciśnienia aproksymować równaniami przepływu płytkiego, w których $c$ równe jest prędkości rozchodzenia się fal dźwiękowych. Preissmann zaproponował dołączenie ponad sklepieniem przewodu szczeliny o stałej szerokości i nieskończonej wysokości (rys. 4.15).

Rys. 4.15. Przewód o przekroju prostokątnym ze szczeliną Preissmanna.

Rys. 4.15. Przewód o przekroju prostokątnym ze szczeliną Preissmanna.

Szerokość szczeliny znajdowana jest z przyrównania prędkości fazowej fali grawitacyjnej (4-20) do prędkości fazowej fali dźwiękowej (4-16)

$$T_w = \frac{A\gamma}{K}\,,\qquad\textrm{(14-21)}$$

gdzie $A$ jest wypełnionym polem przekroju przewodu (bez szczeliny). W ten sposób, gdy poziom zwierciadła wody znajduje się w szczelinie, prędkość fazowa fali grawitacyjnej równa jest prędkości fali dźwiękowej. Ta procedura jest bardzo użyteczna, ponieważ przy użyciu tych samych układów równań w tym samym modelu można uzyskać rozwiązanie dla przepływu ze swobodną powierzchnią i dla przepływu ciśnieniowego. Wpływa to bardzo nieznacznie na dokładność wyników: prędkości są nieco mniejsze ze względu na zwiększenie powierzchni przepływu o szczelinę. Jednak ponieważ przy wysokości ciśnienia $60m$ powierzchnia szczeliny jest $2.98 \cdot 10^{-4}$ razy mniejsza od całkowitego pola przepływu, wzrost ten jest pomijalny.

W HEC-RAS użytkownik może zamodelować przewód o dowolnym kształcie w ten sposób, że dno przewodu stanowi linia dna przekroju, a sklepienie konstruuje się za pomocą pokrywy (ang. lid). Opcja szczeliny Preissmanna (ang. Preissmann slot) musi być w tym przypadku włączona w każdym przekroju z pokrywą. Aby dowiedzieć się, jak można włączyć tę opcję, proszę przeczytać rozdział "Modeling Pressurized Pipe Flow" z 6. rozdziału HEC-RAS User's Manual.

W czasie symulacji niestacjonarnych, gdy przepływ ze swobodną powierzchnią przechodzi w przepływ ciśnieniowy, może dojść do nagłego spadku modułu przepływu, gdy zwierciadło dochodzi do szczytu przekroju. Wynika to ze znacznego wzrostu obwodu zwilżonego (tarcia), któremu towarzyszy niewielki wzrost powierzchni pola przekroju. Z tego względu wartość moduł przepływu spada, gdy zwierciadło wody dotyka szczytu przekroju przewodu. Ten spadek wartości modułu w momencie, gdy charakter przepływu zmienia się ze swobodnego w ciśnieniowy, może być przyczyną niestabilności numerycznych rozwiązania. Z tego względu obliczane w HEC-RAS charakterystyki modułu przepływu przewodów są obcinane na wartości odpowiadającej całkowicie wypełnionemu przewodowi - tuż poniżej szczytu przekroju nie dochodzi zatem do wzrostu wartości modułu do teorytycznego maksimum i następnie spadku do wartości dla przewosu całkowicie wypełnionego (zobacz rys. 4.16).

Rys. 4.16. Teoretyczny i obliczany (computed) moduł przepływu przewodu.

Rys. 4.16. Teoretyczny i obliczany (computed) moduł przepływu przewodu.