Metoda dla węzłów wodnych oparta na równaniu pędu

(Momentum Based Junction Method)

Użytkownik może zażyczyć sobie, aby obliczenia węzła przeprowadzone zostały metodą opartą na równaniu pędu. Jak przedstawiono powyżej, możemy mieć do czynienia z sześcioma różnymi przypadkami przepływu przez węzeł. Metoda ilości ruchu korzysta z tej samej metodologii, co metoda energetyczna. Różnicę stanowi to, że obliczenia położenia zwierciadła wody odbywają się przy użyciu równania pędu. Korzystając z równania pędu, uwzględnić można kąty, pod jakimi odcinki łączą się w węźle. Użytkownik musi wprowadzić wartości tych kątów dla każdego z odcinków, który nie jest równoległy do głównego kierunku przepływu w węźle. Przykład węzła, w którym następuje połączenie przepływów, pokazany został na rys. 4.9. W tym przykładzie wprowadzone mogłyby zostać kąty obu odcinków. Kąty odmierzane są od prostej prostopadłej do przekroju 3.0 na odcinku 3.

Rys. 4.9 Przykład węzła z połączeniem przepływów, w którym zastosowana zostanie metoda pędu

Rys. 4.9 Przykład węzła z połączeniem przepływów, w którym zastosowana zostanie metoda pędu

Dla reżimu spokojnego obliczenia do przekroju 3.0 wykonywane są przy użyciu standardowej procedury energetycznej. Następnie, przy użyciu metody ilości ruchu, znajdowane są zwierciadła wody w przekrojach 4.0 i 0.0. Równanie pędu rozwiązywane jest w celu obliczenia sił w kierunku x, tj. kierunku przepływu w przekroju 3.0. W tym przypadku, zapisane jest ono następująco:

$$SF_3 = SF_4 \cos{\theta_1}-F_{f4-3}+W_{x4-3}+SF_0\cos{\theta_2}-F_{f0-3}+W_{x0-3}, \qquad\textrm{(4-5)}$$

gdzie $SF$ – siła właściwa (ang. specific force) strumienia, zdefiniowana równaniem (4-3).

Siły związane z tarciem i ciężarem cieczy składają się z dwóch części. Siły te obliczane są pomiędzy przekrojami np. 4.0 i 3.0, przy założeniu, że środek ciężkości węzła znajduje się w połowie odległości między tymi przekrojami. Pierwsza część omawianych sił, obliczana jest na odcinku pomiędzy przekrojem 4.0, a środkiem ciężkości węzła, przy użyciu pola powierzchni przepływu w przekroju 4.0. Część druga natomiast, obliczana jest od środka ciężkości węzła do przekroju 3.0 przy użyciu ważonego względem prowadzonego przepływu pola powierzchni przekroju 3.0. Równania do obliczenia tych sił przedstawiają się następująco:

Siły tarcia :

$$F_{f_{4-3}} = \overline{S}_{f_{4-3}}\frac{L_{4-3}}{2}A_4\cos{\theta_1} + \overline{S}_{f_{4-3}}\frac{L_{4-3}}{2}A_3 \frac{Q_4}{Q_3}, \qquad\textrm{(4-6)}$$

$$F_{f_{0-3}} = \overline{S}_{f_{0-3}}\frac{L_{0-3}}{2}A_0\cos{\theta_2} + \overline{S}_{f_{0-3}}\frac{L_{0-3}}{2}A_3 \frac{Q_0}{Q_3}, \qquad\textrm{(4-7)}$$

Ciężar wody :

$$W_{x4-3} = {S}_{0_{4-3}}\frac{L_{4-3}}{2}A_4\cos{\theta_1} + {S}_{0_{4-3}}\frac{L_{4-3}}{2}A_3 \frac{Q_4}{Q_3}, \qquad\textrm{(4-8)}$$

$$W_{x_{0-3}} = {S}_{0_{0-3}}\frac{L_{0-3}}{2}A_0\cos{\theta_2} + {S}_{0_{0-3}}\frac{L_{0-3}}{2}A_3 \frac{Q_0}{Q_3}, \qquad\textrm{(4-9)}$$

Aby rozwiązać równanie pędu (4-5), w tym przypadku poczynione zostały następujące założenia :

  1. Zwierciadła wody w przekrojach 4.0 i 0.0 obliczane są jednocześnie i są sobie równe. Jest to wstępne przybliżenie, niezbędne do rozwiązania równania 4-5. Ze względu na to założenie, wymaga się aby przekroje wokół węzła położone były blisko siebie, co pozwoli zminimalizować błąd związany z tym założeniem.
  2. Pole powierzchni przekroju 3.0 w obliczeniach sił tarcia i ciężaru wody jest dystrybuowane pomiędzy dwa górne przekroje wedle wagi prowadzonego przez nie przepływu. Jest to konieczne, aby nie uwzględniać podwójnie powierzchni tarcia i objętości wody. W obliczeniach tego typu węzła (rys. 4.9), wykonywanych dla rwącego reżimu przepływu, obliczenia postępują od przekrojów górnych do przekrojów 4.0 i 0.0, więc zwierciadło wody w przekroju 3.0 może zostać obliczone bezpośrednio z równania (4-5).

Dla reżimu mieszanego, rozwiązywanie poszukiwane jest podobnie jak w metodzie energetycznej – jedyną różnicą jest to, że położenie zwierciadeł wody obliczane jest przy użyciu równania pędu.

Przykład zastosowania metody ilości ruchu do obliczeń rozdziału przepływu pokazany został na rys. 4.10.

Rys. 4.10 Schemat węzła z rozdziałem przepływu, do którego zastosowana zostanie metoda pędu

Rys. 4.10 Schemat węzła z rozdziałem przepływu, do którego zastosowana zostanie metoda pędu

Dla tego typu węzła równanie ilości ruchu zapisane jest następująco:

$$SF_4 = SF_2 \cos{\theta_1}+F_{f4-2}-W_{x4-2}+SF_3\cos{\theta_2}+F_{f4-3}-W_{x4-3}, \qquad\textrm{(4-10)}$$

W trakcie obliczeń dla reżimu spokojnego, położenia zwierciadła wody w przekrojach 2.0 i 3.0 są znane i zwierciadło w przekroju 4 może zostać obliczone z równania (4-10).

Dla reżimu rwącego znane jest jedynie położenie zwierciadła wody w przekroju 4.0, więc zwierciadła w przekrojach 2.0 i 3.0 muszą zostać obliczone jednocześnie. Aby móc rozwiązać równanie (4-10) dla reżimu rwącego, czyni się założenie o równości zwierciadeł wody w przekrojach 2.0 i 3.0. Obliczenia reżimu mieszanego rozdziału wód wykonywane są w taki sam sposób jak przy metodzie energetycznej, przy czym zwierciadła wody obliczane są przy pomocy równania ilości ruchu.