Zastosowanie zasady ilości ruchu

(Applications of the Momentum Equation)

Zastosowanie równania energii ogranicza się do przepływów wolnozmiennych, nie ma jednak zastosowania przy przejściu z ruchu spokojnego w rwący i odwrotnie, kiedy do czynienia mamy z ruchem szybkozmiennym.

Z przejściem z ruchu nadkrytycznego w podkrytyczny i odwrotnie możemy spotkać się przy:

  • miejscach znaczącej zmiany spadku podłużnego cieku,
  • mostach,
  • przelewach i urządzeniach zrzutowych,
  • rozdziale lub połączeniu strumieni.

W części powyższych przypadków użyć możemy w obliczeniach z formuł empirycznych (np. przelewy), jednak w niektórych z nich skorzystać musimy z zasady ilości ruchu (prawa równości pędu i popędu w hydraulice).
W programie HEC-RAS zasada ilości ruchu zastosowana może być do obliczeń odskoku hydraulicznego, przekrojów mostowych i rozgałęzień lub połączeń strumieni.

Zasada ilości ruchu oparta jest na drugim prawie Newton’a – siła potrzebna do nadania masie $m$ przyspieszenia $a$ równa się iloczynowi $ma$.

$$ \sum F_x = m \cdot a. \qquad \textrm{(2-20)} $$

Jeżeli drugą zasadę dynamiki zastosujemy dla masy cieczy zamkniętej pomiędzy dwoma przekrojami, otrzymamy wyrażenie określające zmianę ilości ruchu masy cieczy zamkniętej przekrojami w czasie:

Rys. 2.7 Zastosowanie równania pędu

Rys. 2.7 Zastosowanie równania pędu

$$ P_2 - P_1  + W_x - F_f = Q \cdot \rho \cdot \Delta v_x, \qquad \textrm{(2-21)}$$

gdzie:

$P_1, P_2$ – napory hydrostatyczne działające na przekroje 1 i 2,
$W_x$ – składowa w kierunku x ciężaru cieczy pomiędzy przekrojami,
$F_f$ – siła tarcia na powierzchni styku cieczy z powierzchnią koryta,
$Q$ – natężenie przepływu w korycie,
$\rho$ – gęstość cieczy,
$\Delta v_x$ – różnica x-owej składowej prędkości w przekrojach 1 i 2.

Napory $P$ wyrażane są tutaj jako składowe w kierunku x sił wywołanych ciśnieniem hydrostatycznym:

$$P = \gamma \cdot A \cdot \overline{Y} \cos{\Theta}. \qquad\textrm{(2-22)}$$

Hydrostatyczny rozkład ciśnień w przekroju może być przyjęty jedynie dla koryt o spadku podłużnym nie większym niż 1 : 10 (ok. 6$\deg$). Dla spadków tego rzędu cosinus kąta nachylenia jest bliski jedności, dzięki czemu przyjąć można :

$P_1 = \gamma \cdot A_1 \cdot \overline{Y}_1$ oraz $P_2 = \gamma \cdot A_2 \cdot \overline{Y}_2. \qquad\textrm{(2-23), (2-24)}$

gdzie:

$g$ – ciężar objętościowy cieczy,
$A_i$ – pole i-tego przekroju wypełnione wodą,
$Y_i$ – głębokość w i-tym przekroju mierzona od zwierciadła do poziomu środka ciężkości pola prowadzącego przepływ.

Ciężar wody zamkniętej pomiędzy przekrojami oblicza się w następujący sposób :

$$ W = \gamma \cdot \frac{A_1 + A_2}{2} \cdot L,\qquad\textrm{(2-25)} $$

a interesująca nas jego składowa w kierunku $x$ wynosi :

$$ W_x = W \sin{\Theta},\qquad\textrm{(2-26)} $$

$$ \sin{\Theta}=  \frac{z_2-z_1}{L} = S_o,\qquad\textrm{(2-27)} $$

$$ W_x = \gamma \cdot \frac{A_1 + A_2}{2} \cdot L \cdot S_o,\qquad\textrm{(2-28)} $$

gdzie:

$L$ – odległość między sąsiednimi przekrojami mierzona wzdłuż osi x,
$S_o$ – spadek koryta,
$z_i$ – średnia wysokość położenia dna kanału w i-tym przekroju.

Siły tarcia wzdłuż powierzchni styku cieczy z powierzchnią koryta obliczane są następująco:

$$ F_f = \tau \cdot P \cdot L ,\qquad\textrm{(2-29)} $$

$$ \tau = \gamma \cdot \overline{R} \cdot \overline{S}_f ,\qquad\textrm{(2-30)} $$

$$ F_f = \frac{\overline{A}}{\overline{P}} \cdot \overline{S}_f \cdot \overline{P} \cdot L ,\qquad\textrm{(2-31)} $$

$$ F_f = \frac{A_1+A_2}{2} \cdot \overline{S}_f \cdot L ,\qquad\textrm{(2-32)} $$

gdzie:

$\tau$ – naprężenia styczne na ścianie koryta,
$\overline{P}$ – uśredniona wartość obwodu zwilżonego pomiędzy przekrojami 1 i 2,
$\overline{R}$ – uśredniony promień hydrauliczny ($R = A / P$),
$\overline{S}_f$ – spadek tarciowy.

Iloczyn masy i przyspieszenia może zostać wyrażony poprzez równanie:

$$ma = Q \cdot \rho \cdot \Delta v_x, \qquad\textrm{(2-33)}$$

a biorąc pod uwagę, że $\rho = \frac{\gamma}{g}$ oraz $\Delta v_x = \beta_1 v_1 -\beta_2 v_2$, można zapisać:

$$ma = \frac{Q \cdot \gamma}{g} \cdot \beta_1 v_1 - \beta_2 v_2, \qquad\textrm{(2-34)}$$

gdzie $\beta$ reprezentuje współczynnik nierównomiernego rozkładu prędkości w korytach niepryzmatycznych.
Podstawiając wyszczególnione wielkości do równania wyjściowego (2-21) otrzymamy kolejno:

$$ \gamma A_2 \overline{Y}_2 - \gamma A_1 \overline{Y}_1 = \gamma \frac{A_1+A_2}{2}L S_o - \gamma \frac{A_1+A_2}{2}L\overline{S}_f = \frac{Q_1 \gamma}{g} \beta_1 v_1 - \frac{Q_2 \gamma}{g} \beta_2 v_2,  \qquad\textrm{(2-35)} $$

$$ \frac{Q_2 \beta_2 v_2}{g} + A_2 \overline{Y}_2 + \frac{A_1+A_2}{2}L S_o - \frac{A_1+A_2}{2}L\overline{S}_f = \frac{Q_1 \beta_1 v_1}{g} + A_1 \overline{Y}_1, \qquad\textrm{(2-36)} $$

$$ \frac{Q_2^2 \beta_2}{g A_2} + A_2 \overline{Y}_2 + \frac{A_1+A_2}{2}L S_o - \frac{A_1+A_2}{2}L\overline{S}_f = \frac{Q_1^2 \beta_1}{g A_1} + A_1 \overline{Y}_1. \qquad\textrm{(2-37)} $$

Wykorzystanie zasady ilości ruchu w programie HEC-RAS opiera się na obliczeniach przeprowadzonych według ostatniego z powyższych wzorów.