Równanie ciągłości

(Continuity Equation)

Rozważmy elemetarną objętość kontrolną przedstawioną na rys. 2.8. Na rysunku tym odległości w kierunku x odmierzane są wzdłuż biegu koryta. Oznaczymy przepływ panujący w środku geometrycznym tej objętości przez $Q(x,t)$, a całkowite pole przekroju poprzecznego przez $A_T$. Przekrój całkowity składa się z części czynnej przekroju $A$ oraz położonej poza korytem części magazynującej $S$ (ang. storage area).

Ilustracja objętości kontrolnej do wyprowadzenia równania ciągłości

Rys. 2.8 Ilustracja objętości kontrolnej do wyprowadzenia równania ciągłości

Zasada zachowania masy dla objętości kontrolnej mówi, że zmiana dopływu netto do objętości kontrolnej musi być równa zmianie ilości cieczy zmagazynowanej wewnątrz tej objętości. Zmiana dopływu (ang. inflow) do objętości kontrolnej może zostać zapisana jako

$$Q-\frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\Delta x}{2},\qquad\textrm{(2-40)}$$

zmiana odpływu z objętości kontrolnej (ang. outflow)

$$Q+\frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\Delta x}{2},\qquad\textrm{(2-41)}$$

natomiast zmiana zmagazynowanej w objętości cieczy

$$\frac{\partial A_T}{\partial t} \Delta x.\qquad\textrm{(2-42)}$$

Zakładając, że $\Delta x$ jest małe możemy zapisać, że zmiana masy cieczy zmagazynowanej w objętości kontrolnej wynosi

$$\rho \frac{\partial A_T}{\partial t} \Delta x = \rho \left[ \left(Q-\frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\Delta x}{2}\right)-\left(Q+\frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\Delta x}{2}\right) + Q_l \right] .\qquad\textrm{(2-43)}$$

Gdzie $Q_l$ jest dopływem bocznym do objętości kontrolnej, a $\rho$ gęstością cieczy. Upraszczając i dzieląc obie strony równania przez $\rho \Delta x$ otrzymamy ostateczną formę równania ciągłości

$$\frac{\partial A_T}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} - q_l = 0,\qquad\textrm{(2-44)}$$

w której $q_l$ jest dopływem bocznym na jednostkę długości koryta.