Napory

Napory

Ilustracja do wyrażenia reprezentującego napory

Rys. 2.9 Ilustracja do wyrażenia reprezentującego napory

Na rys. 2-9 przedstawiony został ogólny przypadek przekroju koryta nieregularnego. Zakłada się hydrostatyczny rozkład ciśnienia (zmienia się ono liniowo wraz z głębokością), a napór określony jest całką powierzchniową iloczynu elementarnej powierzchni i ciśnienia panującego w jej środku. Napór w dowolnym punkcie na długości koryta obliczony może zostać jako (Shames, 1962) :

$$ F_P = \int^h_0{\rho g (h-y) T(y) dy} ,\qquad\textrm{(2-46)} $$

gdzie $h$ jest głębokością, $y$ wysokością ponad najniższy punkt dna przekroju, a $T(y)$ funkcją szerokości koryta w zależności od wysokości ponad dnem.

Jeśli $F_p$ jest naporem zdefiniowanym w środku ciężkości objętości elementarnej, to napór na górną powierzchnię od strony wody górnej (WG) wynosi:

$$F_P - \frac{\partial F_P}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \, ,\qquad\textrm{(2-47)} $$

a od strony wody dolnej :

$$F_P + \frac{\partial F_P}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \, .\qquad\textrm{(2-48)} $$

Suma naporów dla objętości kontrolnej zapisana może zostać jako

$$F_{Pn} = \left| F_P - \frac{\partial F_P}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \right| - \left| F_P + \frac{\partial F_P}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \right| + F_B \, ,\qquad\textrm{(2-49)} $$

gdzie $F_{Pn}$ jest wypadkową naporów na objętość kontrolną, a $F_B$ jest siłą wywieraną w kierunku $x$ na ciecz przez brzegi i dno. Powyższy zapis może zostać uproszczony do :

$$F_{Pn} = - \frac{\partial F_P}{\partial x}\Delta x + F_B \, .\qquad\textrm{(2-50)} $$

Zróżniczkowanie równania 2-46 przy pomocy reguły Leibnitz'a i podstawienie go do równania 2-50 pozwoli zapisać :

$$F_{Pn} = - \rho g \Delta x \left[ \int_0^h T(y)dy + \int_0^h (h-y)\frac{\partial T(y)}{\partial x}dy \right] + F_B \, .\qquad\textrm{(2-51)} $$

Pierwsza całka w równaniu 2-51 jest polem powierzchni przekroju $A$. Druga całka, pomnożona przez $- \rho g\Delta x$, jest siłą naporu cieczy na brzegi i dno, która, co do wielkości, jest równa $F_B$, lecz skierowana w przeciwną stronę. Zatem wypadkowa naporów na objętość kontrolną zapisać można :

$$F_{Pn} = - \rho g A \frac{\partial h}{\partial x} \Delta x \, .\qquad\textrm{(2-52)} $$