Strumień pędu

Strumień dopływający do objętości kontrolnej może zostać zapisany jako:

$$\rho \left[ QV - \frac{\partial QV}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \right] \, ,\qquad\textrm{(2-61)}$$

a strumień opuszczający objętość kontrolną :

$$\rho \left[ QV + \frac{\partial QV}{\partial x} \frac{\Delta x}{2} \right] \, .\qquad\textrm{(2-62)}$$

Zatem zmiany netto pędu w objętości kontrolnej (strumień pędu) wynosi:

$$-\rho \frac{\partial QV}{\partial x} \Delta x \, .\qquad\textrm{(2-63)}$$

Pęd płynu zawartego w objętości kontrolnej równy jest $\rho Q \Delta x$, więc zmianę pędu zawartego w objętości kontrolnej zapiszemy jako:

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( \rho Q \Delta x \right)= \rho \Delta x \frac{\partial Q}{\partial t} \, .\qquad\textrm{(2-64)}$$

Zapiszmy jeszcze raz zasadę zachowania pędu: zmiana netto pędu wpływającego do objętości (strumień pędu) (2.63) plus suma wszystkich sił zewnętrznych działających na tę objętość [(2.52) + (2.54) + (2.59)] jest równa zmianie ilości pędu w tej objętości (2.64). Mamy zatem:

$$\rho \Delta x \frac{\partial Q}{\partial t} =
-\rho \frac{\partial QV}{\partial x} \Delta x -
\rho g A \frac{\partial h}{\partial x} \Delta x -
\rho g A \frac{\partial z_0}{\partial x} \Delta x -
\rho g A S_f \Delta x \, .\qquad\textrm{(2-65)}$$

Położenie zwierciadła wody $z$ równe jest $z_0+h$, więc

$$\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial h}{\partial x}+\frac{\partial z_0}{\partial x} \, ,\qquad\textrm{(2-66)}$$

gdzie $\partial z / \partial x$ jest spadkiem zwierciadła wody. Podstawiając (2.66) do (2.65), dzieląc obie strony równania przez $\rho \Delta x$ i po umieszczeniu wszystkich niezerowych wyrazów po lewej stronie znaku równości otrzymamy ostateczną formę równania pędu:

$$\frac{\partial Q}{\partial t} +
\frac{\partial QV}{\partial x} +
g A \left( \frac{\partial z}{\partial x} + S_f \right) = 0 \, .\qquad\textrm{(2-67)}$$