Zastosowanie równań przepływu niestacjonarnego w HEC-RAS

Rysunek 2.10 ilustruje dwuwymiarowy charakter zależności pomiędzy przepływem w korycie i przepływem na terenach zalewowych. Gdy poziom wody w rzece się podnosi, wody zaczynają przemieszczać się poza korytem głównym i wypełniać dostępne obszary akumulacji (ang. storage area). Gdy zwierciadło wody podniesie się znacznie, obszary te zaczynają w ogólnym przypadku prowadzić przepływ wzdłuż tras krótszych, niż to ma miejsce w korycie głównym. Z kolei, gdy wody zaczynają opadać, wody przemieszczają się z terenów zalewowych w kierunku koryta zasilając odbywający się w nim przepływ.

Przepływ w korycie i po terenach zalewowych
Rys. 2.10 Przepływ w korycie i po terenach zalewowych

Ponieważ jednak podstawowy kierunek przepływu jest zgodny z przebiegiem koryta, to dwuwymiarowy pole przepływu często może być z powodzeniem przybliżone przy użyciu modelu jednowymiarowego. Obszary poza korytem, w których dochodzić będzie do gromadzenia się wód, mogą zostać zamodelowane przy pomocy obszarów akumulacji, oddziałującymi z przepływem w korycie. Przepływ po terenach zalewowych przybliżony może zostać jako przepływ w oddzielnym korycie.

Problem oddziaływania koryta z terenami zalewowymi próbowano rozwiązać na wiele sposobów. Powszechnym podejściem jest przyjęcie, że tereny te w ogóle nie prowadzą przepływu i traktowanie ich jedynie jako obszarów retencji. Takie założenie może być poprawne jedynie w odniesieniu do dużych rzek, takich jak Mississippi, w przypadku której koryto jest obwałowane, a obszary retencji są albo gęsto porośnięte albo oddalone od koryta głównego. Fread (1976) i Smith (1978) próbowali rozwiązać ten problem poprzez wydzielenie osobnych koryt i osobne rozpisanie dla nich równań ciągłości i pędu. Dla uproszczenia przyjęli poziomy układ zwierciadła wody w przekrojach usytuowanych prostopadle do przepływu. Wówczas wymiana pędu pomiędzy korytem a terenami zalewowymi jest pomijalnie mała, a wydatki poszczególnych części przekroju ustalane są na podstawie ich modułu przepływu w następujący sposób:

$$Q_c = \phi Q \, ,\qquad\textrm{(2-68)}$$

gdzie :
$Q_c$ - natężenie przepływu w korycie głównym,
$Q$ - całkowite natężenie przepływu,
$\phi = K_c / (K_c +K_f)$,
$K_c $ - moduł przepływu koryta głównego,
$K_f$ - moduł przepływu terenów zalewowych.

Z takimi założeniami jednowymiarowe równania przepływu mogą zostać zapisane w postaci pojedynczego układu :

$$\frac{\partial A}{\partial t} +
\frac{\partial (\phi Q)}{\partial x_c} +
\frac{\partial [(1-\phi)Q ]}{\partial x_f}=0 \, ,\qquad\textrm{(2-69)}$$

$$\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial (\phi^2 Q^2 / A_c)}{\partial x_c} + \frac{\partial [(1-\phi)^2 Q^2 / A_f]}{\partial x_f}
+ g A_c \left( \frac{\partial z}{\partial x_c} + S_{fc} \right) + g A_f \left( \frac{\partial z}{\partial x_f} + S_{f\!f} \right) = 0 \, ,\qquad\textrm{(2-70)}$$

w którym indeksy $c$ i $f$ odnoszą się odpowiednio do kryta głównego (ang. channel) i terenów zalewowych (ang. floodplain). Równania te były aproksymowane niejawnymi schematami różnicowymi i rozwiązywane metodą iteracji Newtona-Raphsona. Model ten działał dobrze i dał oczekiwane wyniki dla przypadków testowych. W takim sformułowaniu mogą jednak pojawić się niestabilności numeryczne, gdy przepływ jednym węźle obliczeniowym mieści się w korycie, a w sąsiednim już nie.
Rozwijając prace Freada i Smitha, Barkau (1982) zmodyfikował równania różniczkowe dla koryta i terenów zalewowych i zdefiniował nowy ich zestaw, który okazał się bardziej dogodny w sensie obliczeń numerycznych. Użył on współczynnika rozkładu prędkości, który pozwolił na połączenie członów konwekcyjnych. Następnie, poprzez zdefiniowanie ekwiwalentnej drogi przepływu, zamienił człon spadku tarciowego na człon ekwiwalentnej siły.

Równania, które wyprowadził Barkau, są podstawą uzyskania rozwiązania przepływów niestacjonarnych w HEC-RAS. Równania te wyprowadzone zostały powyżej. W następnych rozdziałach opisany został sposób ich numerycznego rozwiązania.