Niejawny schemat różnicowy

(Implicit Finite Difference Scheme)

Komórka obliczeniowa w metodzie różnic skończonych

Rys. 2.11 Komórka obliczeniowa w metodzie różnic skończonych

Procedurą, dającą najlepsze wyniki i będącą najszerzej akceptowaną w rozwiązywaniu równań jednowymiarowego przepływu niestacjonarnego, jest zastosowanie niejawnego schematu czteropunktowego, zwanego też schematem pudełkowym (ang. box scheme) (Patrz rys. 2.11). W schemacie tym, pochodne po długości kanału i wartości funkcji wyznaczane są w punkcie $(n+\theta)\Delta t$ wewnątrz siatki obliczeniowej. Wartości w punktach $(n+1)\Delta t$ wchodzą w skład wszystkich członów w równaniach przepływu. Dla odcinka rzeki skutkuje to otrzymaniem systemu jednoczesnych równań. To jednoczesne rozwiązywanie równań jest ważną cechą tego schematu, ponieważ na wartość rozwiązania w dowolnym punkcie na długości rzeki wpływ mają informacje z całego rozpatrywanego odcinka. Umożliwia to zastosowanie dłuższego kroku czasowego niż w metodach jawnych. Analiza stabilności von Neumanna przeprowadzona przez Fread'a (1974) oraz Liggett'a i Cunge'a (1975) pokazuje, że schemat ten jest (teoretycznie) bezwarunkowo stabilny dla $0.5<\theta\leq1.0$, warunkowo stabilny dla $\theta=0.5$ oraz niestabilny dla $\theta<0.5$. Wykonana przez tych samych autorów analiza zbieżności wykazała, że numeryczne tłumienie zwiększa się proporcjonalnie do $\lambda / \Delta x$, gdzie $\lambda$ jest długością fali na długości rzeki. W przypadku obliczeń wezbrań w rzekach, gdzie długości fali są znaczne w porównaniu z odległościami punktów obliczeniowych, zbieżność nie jest poważnym problemem.

W praktyce, na stabilność rozwiązania wpływ mogą mieć inne czynniki. Obejmują one znaczne zmiany cech przekrojów obliczeniowych, nagłe zmiany spadku dna, charakter samej fali wezbrania oraz złożone budowle hydrotechniczne, takie jak wały, mosty, przepusty, stopnie piętrzące i bystrza. W istocie, czynniki te często mogą być o wiele ważniejsze od rozważań dotyczących $\theta$. Czynniki te powodują, że zastosowaniu każdego modelu towarzyszyć powinno studium podatności modelu, w którym jego zbieżność i dokładność testowane są dla różnych długości kroku czasowego i odległości pomiędzy przekrojami obliczeniowymi.

Zdefiniowane zostaną następujące wyrażenia:

$$f_j = f^n_j\qquad\textrm{(2-71)}$$

$$\Delta f_j = f^{n+1}_j - f^n_j\qquad\textrm{(2-72)}$$

oraz

$$\Delta f_j^{n+1} = f_j + \Delta f_j\qquad\textrm{(2-73)}$$

W ogólnym przypadku niejawne formy wyrażeń różnicowych zapisujemy:

1. Pochodna po czasie

$$\frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{0.5(\Delta f_{j+1}-\Delta f_j)}{\Delta t}\qquad\textrm{(2-74)}$$

2. Pochodna po długości

$$\frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(f_{j+1}-f_j)+\theta(\Delta f_{j+1}-\Delta f_j)}{\Delta x}\qquad\textrm{(2-75)}$$

3. Wartość funkcji

$$f \approx \overline{f} = 0.5(f_j+f_{j+1})+0.5\,\theta(\Delta f_j+\Delta f_{j+1})
\qquad\textrm{(2-76)}$$