Równanie ciągłości

(Continuity Equation)

Równanie ciągłości opisuje prawo zachowania masy dla systemu jednowymiarowego. Korzystając z wcześniejszego wyprowadzenia i dodając człon akumulacji, zapiszemy teraz równanie ciągłości w następujący sposób:

$$\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} - q_l = 0,\qquad\textrm{(2-77)}$$

gdzie :

$x $ - odległość wzdłuż koryta,
$t $ - czas,
$Q $ - natężenie przepływu,
$A $ - pole przekroju poprzecznego,
$S$ - objętość zawarta w nieprowadzących przepływu częściach przekroju,
$q_l$ - jednostkowe natężenie dopływu bocznego na jednostkę długości koryta.

Powyższe równanie zapisane może zostać dla koryta głównego i terenów zalewowych:

$$\frac{\partial Q_c}{\partial x_c}+\frac{\partial A_c}{\partial t} = q_f\qquad\textrm{(2-78)}$$

oraz

$$\frac{\partial Q_f}{\partial x_f}+\frac{\partial A_f}{\partial t} + \frac{\partial S}{\partial t} = q_c + q_l \, ,\qquad\textrm{(2-79)}$$

gdzie indeksy $c$ i $f$ odnoszą się odpowiednio do koryta głównego i terenów zalewowych, $q_l$ jest jednostkowym natężeniem dopływu bocznego do terenów zalewowych, a $q_c$ i $q_f$ oznaczają wzajemne dopływy boczne pomiędzy korytem a terenami zalewowymi.

Aproksymujemy teraz równania 2.78 i 2.79 schematem niejawnym używając formuł od 2.74 do 2.76:

$$\frac{\Delta Q_c}{\Delta x_c}+\frac{\Delta A_c}{\Delta t} = \overline{q}_f\qquad\textrm{(2-80)}$$

$$\frac{\Delta Q_c}{\Delta x_f}+\frac{\Delta A_f}{\Delta t} + \frac{\Delta S}{\Delta t} = \overline{q}_c + \overline{q}_l \, ,\qquad\textrm{(2-81)}$$

Wartości wymiany przepływu pomiędzy terenami zalewowymi i korytem głównym są sobie równe, z tym, że mają przeciwne znaki : $q_l \Delta x_c = -q_f \Delta x_f$. Dodając do siebie powyższe równania otrzymamy:

$$\Delta Q + \frac{\Delta A_c}{\Delta t}\Delta x_c + \frac{\Delta A_f}{\Delta t}\Delta x_f + \frac{\Delta S}{\Delta t} \Delta x_f - \overline{Q}_l = 0 \, ,\qquad\textrm{(2-81)}$$

gdzie $\overline{Q}_l$ jest średnim dopływem bocznym.