Równanie pędu

Równanie pędu opisuje fakt, że prędkość zmiany pędu jest równa wartościom sił zewnętrznych działających na układ. Dla pojedynczego koryta możemy zapisać:

$$\frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial (VQ)}{\partial x} + gA \left(\frac{\partial z}{\partial x} +S_f\right) = 0 \, ,\qquad\textrm{(2-83)}$$

gdzie

$g$ - przyspieszenie ziemskie,
$S_f$ - spadek tarciowy,
$V$ - prędkość przepływu.

Równanie to może zostać zapisane osobno dla koryta głównego i terenów zalewowych:

$$\frac{\partial Q_c}{\partial t}+\frac{\partial (V_cQ_c)}{\partial x} + gA_c \left(\frac{\partial z}{\partial x_c} +S_{fc}\right) = M_c \, ,\qquad\textrm{(2-84)}$$

$$\frac{\partial Q_f}{\partial t}+\frac{\partial (V_fQ_f)}{\partial x} + gA_f \left(\frac{\partial z}{\partial x_f} +S_{f\!f}\right) = M_f \, ,\qquad\textrm{(2-85)}$$

gdzie $M_f$ i $M_c$ są pędami na jednostkę długości koryta wymienianymi między terenami zalewowymi a korytem głównym.
Zwróćmy uwagę, że w równaniach 2.84 i 2.85 nie występuje położenie zwierciadła wody. Zakłada się tutaj, że zwierciadło to jest poziome w przekrojach usytuowanych prostopadle do kierunku przepływu. Tak więc jego położenie wysokościowe jest takie samo dla terenów zalewowych i koryta głównego w danym przekroju.

Przy pomocy formuł 2.74 -- 2.76 aproksymujemy powyższe równania schematem różnicowym :

$$\frac{\Delta Q_c}{\Delta t}+\frac{\Delta (V_cQ_c)}{\Delta x} + g\overline{A}_c \left(\frac{\Delta z}{\Delta x_c} +\overline{S}_{fc}\right) = M_c \, ,\qquad\textrm{(2-86)}$$

$$\frac{\Delta Q_f}{\Delta t}+\frac{\Delta (V_fQ_f)}{\Delta x} + g\overline{A}_f \left(\frac{\Delta z}{\Delta x_f} +\overline{S}_{f\!f}\right) = M_f \, .\qquad\textrm{(2-87)}$$

Zauważmy, że $\Delta x_c M_c = - \Delta x_f M_f$.

Dodając do siebie powyższe równania i przegrupowując wyrazy otrzymamy:

$$\frac{\Delta \left( Q_c\Delta x_c + Q_f\Delta x_f\right)}{\Delta c} + \Delta \left( V_c Q_c \right) + \Delta \left( V_f Q_f \right) + g (A_c+A_f)\Delta z + g\overline{A}_c \overline{S}_{fc} \Delta x_c + g\overline{A}_f \overline{S}_{f\!f} \Delta x_f = 0 \, .\qquad\textrm{(2-88)}$$

Ostatnie dwa człony opisują siłę tarcia wywieraną na ciecz przez dno i brzegi. Ekwiwalentna siła może zostać zdefiniowana w następujący sposób:

$$g\overline{A} \,\overline{S}_{f} \Delta x_e = g\overline{A}_c \overline{S}_{fc} \Delta x_c + g\overline{A}_f \overline{S}_{f\!f} \Delta x_f \, .\qquad\textrm{(2-89)}$$

gdzie

$\Delta x_e$ - przyspieszenie ziemskie,
$S_f $ - spadek tarciowy,
$V$ - prędkość przepływu.

Następnie zapiszmy człony konwekcyjne za pomocą współczynnika rozkładu prędkości zdefiniowanego jako:

$$ \beta = \frac{v_c^2 A_c + v_f^2 A_f}{v^2 A} = \frac{v_c Q_c + v_f Q_f}{v Q}, \qquad\textrm{(2-90)}$$

$$ \Delta(\beta v Q) = \Delta (v_cQ_c) + \Delta (v_fQ_f) . \qquad\textrm{(2-91)}$$

Ostateczna postać równania pędu przedstawia się następująco:

$$ \frac{\Delta (Q_c\Delta x_c + Q_f \Delta x_f)}{\Delta t} + \Delta(\beta v Q) + g\overline{A}\Delta z + g\overline{A}\overline{S}_f \Delta x_e = 0 . \qquad\textrm{(2-92)}$$

Bardziej znaną postać tego równania otrzymuje się przez podzielenie obu stron przez $\Delta x_e$

$$ \frac{\Delta (Q_c\Delta x_c + Q_f \Delta x_f)}{\Delta t \Delta x_e} + \frac{\Delta(\beta v Q)}{\Delta x_e} + g\overline{A} \left(\frac{\Delta z}{\Delta x_e} + \overline{S}_f \right) = 0 . \qquad\textrm{(2-93)}$$