Dolne warunki brzegowe

(Downstream Boundary Conditions)

Dolne warunki brzegowe wymagane są na wszystkich dolnych końcach odcinków, które nie są połączone z innymi odcinkami lub obszarami akumulacji (ang. storage area). Można określić jeden z czterech rodzajów warunku brzegowego:

  • hydrogram stanu
  • hydrogram przepływu
  • jednowartościową krzywą konsumcyjną1
  • głębokość normalną wynikającą z równania Manninga

Hydrogram stanu (wykres poziomu zwierciadła wody w zależności od czasu) może zostać użyty na dolnym końcu odcinka, gdy wpada on do obszaru, w którym poziom zwierciadła wody wynika z cofki - może to być odcinek ujściowy rzeki lub zatoka, gdzie poziomy wody zależą od rozkładu przypływów lub też jezioro bądź zbiornik o znanych poziomach wody. W kroku czasowym $(n+1)\Delta t$ warunek brzegowy hydrogramu stanu dany jest następującą zależnością:

$$\Delta Z_N = Z_N^{n+1}-Z_N^n\qquad\textrm{(2-115)}$$

Postać tego równania w metodzie różnic skończonych:

$$CDZ_m\Delta_{ZN} = CDB_m \qquad\textrm{(2-116)}$$

gdzie $CDZ_m=1$, a $CDB_m = z_N^{n+1}-z_N^n$.

Hydrogram przepływu (wykres natężenia przepływu w zależności od czasu) może zostać użyty wówczas, gdy dysponuje się zarejestrowanymi w danym miejscu danymi o przepływie i model kalibrowany jest na określonym wezbraniu. W kroku czasowym $(n+1)\Delta t$ warunek brzegowy hydrogramu przepływu dany jest następującym wyrażeniem metody różnic skończonych:

$$CDQ_m\Delta Q_{N} = CDB_m \qquad\textrm{(2-117)}$$

gdzie $CDQ_m=1$, a $CDB_m = Q_N^{n+1}-Q_N^n$.

Jednowartościowa krzywa konsumcyjna jest monotoniczną funkcją stanu w zależności od natężenia przepływu. Przykładem takiej zależności jest krzywa konsumcyjna skonstruowana dla jednostajnego przepływu stacjonarnego. Jednowartościowa krzywa konsumcyjna może być z powodzeniem stosowana do opisu zależności stanu od przepływu tam, gdzie mamy do czynienia ze swobodnym wypływem, np. na wodospadach czy kaskadach, bystrotokach lub zamknięciach na przelewach i zaporach. Należy jednak ostrożnie stosować ten rodzaj warunku brzegowego w warunkach naturalnych. Jeśli dane miejsce charakteryzowałoby się normalnie pętlową krzywą konsumcyjną, to określenie warunku brzegowego w postaci krzywej jednowartościowej może wprowadzić do rozwiązania błąd. Aby zmniejszyć błędy poziomu zwierciadła wody należy przesunąć warunek brzegowy w dół odcinka rzeki, tak by nie zakłócał on poziomu zwierciadła na odcinku studialnym. Dodatkowe wskazówki podane zostały w pracy (USACE, 1993).

W kroku czasowym $(n+1)\Delta t$ warunek brzegowy dany jest następującym wyrażeniem

$$Q_N + \theta \Delta Q_N = D_{k-1}+\frac{D_k-D_{k-1}}{S_k-S_{k-1}}(z_N+\Delta z_N-S_{k-1}) \qquad\textrm{(2-118)}$$

gdzie $D_k$ - wartość przepływu w $k$-tym punkcie krzywej
$S_k$ - wartość stanu w $k$-tym punkcie krzywej.

Po umieszczeniu wszystkich niewiadomych po lewej stronie równania postać (2-118) w metodzie różnic skończonych wygląda następująco:

$$CDQ_m\Delta Q_{N}+CDZ_m\Delta z_N = CDB_m \qquad\textrm{(2-119)}$$

gdzie $$CDQ_m=\theta$$
$$CDZ_m = \frac{D_k-D_{k-1}}{S_k-S_{k-1}}$$ $$CDB_m = Q_N+D_{k-1}+\frac{D_k-D_{k-1}}{S_k-S_{k-1}}(z_N+\Delta z_N-S_{k-1})$$

Głębokość normalna. Użycie równania Manninga dla spadku podanego przez użytkownika pozwala na obliczenie stanu odpowiadjącego głębokości normalnej panującej w warunkach ruchu jednostajnego. Ponieważ w naturanych ciekach normalnie nie występuje ruch jednostajny, ten rodzaj waruku brzegowego powinien być stosowany w wystarczającej poniżej odcinka studialnego, tak aby nie wprowadzał zakłóceń do rozwiązania. Równanie Manninga może zostać zapisane jako:

$$Q=K\, S_f^{1/2}\qquad\textrm{(2-120)}$$

gdzie $K$ jest modułem przepływu przekroju, a $S_f$ jest spadkiem energii.

 

 

  1. 1. chodzi tu o brak rozróżnienia poziomów wody odpowiadających danej wielkości przepływowi podczas fazy wznoszącej i opadającej wezbrania